Page 381 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 373

Esta expresi´on depende de θ cuando t ą 0. Por lo tanto, T no es suficiente.

211. Tome, por ejemplo, px 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 q“p0, 1, 1, 0q. Entonces Tpx 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 q“
0. Adem´as, PpT “ 0q“ PpX 1 “ 0,X 4 “ 0q` PpX 2 “ 0,X 3 “ 0,X 4 “ 0q“
3
2
p1 ´ θq `p1 ´ θq .Por lo tanto,

PpX 1 “ 0,X 2 “ 1,X 3 “ 1,X 4 “ 0 | T “ 0q
PpX 1 “ 0,X 2 “ 1,X 3 “ 1,X 4 “ 0,T “ 0q
“
PpT “ 0q

PpX 1 “ 0,X 2 “ 1,X 3 “ 1,X 4 “ 0q
“
PpT “ 0q
2 2
θ p1 ´ θq
“
2
p1 ´ θq `p1 ´ θq 3
θ 2
“ .
2 ´ θ

Claramente esta probabilidad depende del par´ametro θ y, por lo tanto, T no
es suficiente para θ.

212. Tome, por ejemplo, px 1 ,x 2 q“p0, 0q.Entonces Tpx 1 ,x 2 q“ 0. Adem´as,
ř ř
8 8 ´2θ 2n 2
PpT “ 0q“ PpX 1 “ n, X 2 “ nq“ e θ {pn!q .Por lotanto,
n“0 n“0

PpX 1 “ 0,X 2 “ 0,T “ 0q
PpX 1 “ 0,X 2 “ 0 | T “ 0q “
PpT “ 0q
PpX 1 “ 0,X 2 “ 0q
“
PpT “ 0q
e ´2θ
“ ř
2n
e ´2θ 8 θ {pn!q 2
n“0
1
“ ř .
8 2n 2
θ {pn!q
n“0
Esta expresi´on depende del par´ametro θ y, por lo tanto, T no es suficiente
para θ.

213. Observe que T tiene distribuci´on Np3θ, 5q.Tome, por ejemplo, px 1 ,x 2 q“
p0, 0q.Entonces Tpx 1 ,x 2 q“ t “ 0. Por lo tanto, para estos valores de la