Page 380 - EI2019.pdf

372 Ap´ endice B

207. Por el teorema de factorizaci´on de Neyman,

px n ; θq
f X 1 ,...,X n px 1 ,...,x n q“ f X 1 px 1 ; θq¨¨¨ f X n
2
2
“ 2px 1 {θqe ´x {θ ¨¨¨ 2px n {θqe ´x {θ
1
n
n
ź ř n
n ´p1{θq x 2
“p2{θq r x i s e i“1 i
i“1
n
ř n 2 ź
“p2{θq e i“1 x i ¨r x i s
n ´p1{θq
i“1
“ gpTpx 1 ,...,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.
208. Este resultado se puede obtener del teorema de factorizaci´on de Neyman,
n
fpx 1 ,...,x n ; θq “ a pθqbpx 1 q¨¨¨ bpx n q 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
p0,θq p0,θq
n
“ bpx 1 q¨¨¨ bpx n q¨ a pθq 1 px q
p0,θq pnq
“ hpx 1 ,...,x n q¨ gpx pnq ; θq.
n
1 ÿ
ˆ
2
209. a) θ “ px i ´ µq .
n
i“1
b)Puede usarse el teorema de factorizaci´on de Neyman.
n
ÿ
´n{2 2
fpx 1 ,...,x n ; θq“p2πθq expt´ px i ´ µq {2θu
i“1
´n{2 ˆ
“p2πθq expt´n θpx 1 ,...,x n q{2θu
ˆ
“ gpθpx 1 ,...,x n q; θq¨ 1.

210. Observe que la funci´on de densidad de T es
#
2
2
1 ´pt´θq {2σ 2 ´p´t´θq {2σ 2
? re ` e s si t ě 0,
2πσ 2
f T ptq“
0 en otro caso.
Entonces, para t ě 0,
fpx 1 ,T “ tq
fpx 1 | T “ tq“
f T ptq
fpx 1 q
“ ¨ 1 ttu px 1 q
f T ptq

ptq
f X 1
“
f T ptq
2
e ´pt´θq {2σ 2
“ .
2
2
e ´pt´θq {2σ 2 ` e ´p´t´θq {2σ 2