Page 379 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 371

203. Puede comprobarse que T tiene distribuci´on unifp0, θq.Por lo tanto,

fpx 1 ,T “ tq
fpx 1 | T “ tq“ ¨ 1 px 1 q
ttu
f T ptq
fpx 1 q
“ ¨ 1 ttu px 1 q
f T ptq
1{2θ
“ ¨ 1 ttu px 1 q
1{θ
1
“ ¨ 1 ttu px 1 q.
2

204. Claramente T tiene distribuci´on Bernoulli con probabilidad de ´exito igual a
PpX 1 ą 2q“ e ´2θ .Tomemos x 1 “ 3. Entonces T toma el valor t “ 1. Por lo
tanto,

fpx 1 ,T “ tq
fpx 1 | T “ tq“
f T ptq
fpx 1 q
“
f T ptq
θe ´θx 1
“
e ´2tθ p1 ´ e ´2θ 1´t
q
θe ´3θ
“
e ´2θ
“ θe ´θ .
Esta cantidad depende de θ y, por lo tanto, T no es suficiente.

205. Puede usarse el teorema de factorizaci´on de Neyman. Tenemos que

n
ź
fpx 1 ,...,x n ; θq “ θe θx i ¨ 1 p0,8q px i q
i“1
n
ź
n θ T px 1 ,...,x n q
“ θ e ¨ 1 p0,8q px i q
i“1
“ gpTpx 1 ,...,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.

206. Puede usarse el teorema de factorizaci´on de Neyman. Tenemos que

n
ź
fpx 1 ,...,x n ; θq“ e ´px i ´θq ¨ 1 pθ,8q px i q
i“1
“ e n¯x ¨ e nθ ¨ 1 px q
pθ,8q p1q
“ hpx 1 ,...,x n q¨ gpx ; θq.
p1q