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370 Ap´ endice B

2
c)Observe que T tiene distribuci´on Npnθ,nσ q.Adem´as, si x 1 ,...,x n son
los valores de la muestra aleatoria, entonces la estad´ıstica T toma el
valor t “ x 1 `¨ ¨ ¨ ` x n .As´ı, tenemos que

fpx 1 ,...,x n | T “ tq
fpx 1 ,...,x n ,T “ tq
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
f T ptq
fpx 1 ,...,x n q
“ ¨ 1 px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
ttu
f T ptq
2
2
1 ´px 1 ´θq {2σ 2 1 ´px n ´θq {2σ 2
? e ¨¨¨ ? e
2πσ 2 2πσ 2
“ 1 2 2 ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
? e ´pt´nθq {2nσ
2πnσ 2
Despu´es de algunas simplificaciones, se comprueba que esta probabili-
dad condicional no depende de θ.

d)Observe que T tiene distribuci´on gamapnγ, θq.Adem´as, si x 1 ,...,x n
son los valores de la muestra aleatoria, entonces la estad´ıstica T toma
el valor t “ x 1 `¨ ¨ ¨ ` x n .As´ı, tenemos que

fpx 1 ,...,x n | T “ tq
fpx 1 ,...,x n ,T “ tq
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
f T ptq
fpx 1 ,...,x n q
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
f T ptq
γ´1 γ´1
pθx 1 q θe ´θx 1 pθx n q θe ´θx n
pγ´1q! ¨¨¨ pγ´1q!
“ nγ´1 ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
pθtq θe ´θt
pnγ´1q!

Despu´es de algunas simplificaciones, se comprueba que esta probabili-
dad condicional no depende de θ.

202. Se puede usar el teorema de factorizaci´on de Neyman. Tenemos que

1
Lpx 1 ,...,x n ; θq“ 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
θ n p0,θq p0,θq
1
“ 1 px q
θ n p0,θq pnq
“ gpx ; θq¨ 1.
pnq