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Sugerencias a los ejercicios 369

conjunta pero condicionada al evento equivalente T “ t ´ a.Por ser T
suficiente, esta distribuci´on condicional tampoco depende de θ.

b)Aplique el mismo argumento que en el inciso anterior: si t es cualquier
valor de la estad´ıstica aT,entonces paT “ tq“pT “ t{aq.

c)Aplique el mismo argumento que en el primer inciso: si t es cualquier
T
T
valor de la estad´ıstica e ,entonces pe “ tq“pT “ ln tq.

201. a)Observe que T tiene distribuci´on binpnk, θq.Adem´as, si x 1 ,...,x n son
los valores de la muestra aleatoria, entonces la estad´ıstica T toma el
valor t “ x 1 `¨ ¨ ¨ ` x n .As´ı, tenemos que

PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | T “ tq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n ,T “ tq
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
PpT “ tq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n q
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
PpT “ tq
` ˘ ` ˘
k x 1 k´x 1 k x n k´x n
θ p1 ´ θq ¨¨¨ θ p1 ´ θq
x 1 x n
“ ` ˘ ¨ 1 px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
nk t nk´t ttu
θ p1 ´ θq
t
Despu´es de algunas simplificaciones, se comprueba que esta probabili-
dad condicional no depende de θ.

b)Observe que T tiene distribuci´on bin negpn, θq.Adem´as, si x 1 ,...,x n
son los valores de la muestra aleatoria, entonces la estad´ıstica T toma
el valor t “ x 1 `¨ ¨ ¨ ` x n .As´ı, tenemos que

PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | T “ tq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n ,T “ tq
“ ¨ 1 ttu px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
PpT “ tq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n q
“ ¨ 1 px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
ttu
PpT “ tq
x 1 x n
θp1 ´ θq ¨¨¨ θp1 ´ θq
“ ` ˘ ¨ 1 px 1 `¨ ¨ ¨ ` x n q
n`t´1 θ p1 ´ θq t ttu
n
t
Despu´es de algunas simplificaciones, se comprueba que esta probabili-
dad condicional no depende de θ.