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368 Ap´ endice B

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195. La varianza muestral S es tal que pn´1qS {σ tiene distribuci´on χ pn´1q.
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Por lo tanto, Varppn´1qS {θq“ 2pn´1q. De donde se obtiene que VarpS q“
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2σ {pn ´ 1q.Porotro lado,al aplicar la definici´on de CICR se obtiene que
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CICRpS q“ 2σ {n.
196. a)Verdadero.
b)Falso.
197. Es inmediato comprobar que la media muestral es un estimador insesgado
para el par´ametro θ.Ypuedecomprobarseque esteestimador eseficiente
pues su varianza alcanza la cota inferior de Cram´er-Rao, es decir, si la varian-
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za de la distribuci´on se denota por σ ,entonces VarpXq“ CICRpθq“ σ {n.
En el Ejercicio 193 se pide demostrar esta expresi´on para la cota inferior de
Cram´er-Lundberg. Observe que esta cantidad es constante respecto de θ.
198. Sea T suficiente para θ ysea S :RangopTqÑ R biyectiva. Para cada valor
t de T existe un ´unico valor s de S ˝ T.Por lotanto,

PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | S ˝ T “ sq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n ,S ˝ T “ sq
“
PpS ˝ T “ sq
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n ,T “ tq
“
PpT “ tq
“ PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | T “ tq.

Como esta probabilidad no depende de θ pues T es suficiente, se concluye
que S ˝ T tambi´en es suficiente.

199. Sea τpθq una funci´on parametral. Sea θ un valor fijo del par´ametro y sea
τpθq su imagen bajo τ.Laimageninversadelpunto τpθq bajo la funci´on τ
es el conjunto τ ´1 pτpθqq “ tη : τpηq“ τpθqu.Este conjuntocontiene por lo
menos al valor θ,pero puedecontener muchos otrospuntos. Siseelije un
punto de cada uno de estos conjuntos se puede tener una funci´on inversa de
τ,la cualdenotaremos tambi´en por el s´ımbolo τ ´1 .De esta manera, si T es
una estad´ıstica suficiente, entonces por el teorema de factorizaci´on se cumple
la factorizaci´on Lpx 1 ,...,x n ; θq“ gpTpx 1 ,...,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q,lacual
se puede escribir como gpTpx 1 ,...,x n q; τ ´1 pτpθqqq ¨ hpx 1 ,...,x n q,o bienco-
mo GpTpx 1 ,...,x n q; τpθqq ¨ hpx 1 ,...,x n q,en donde G es una nueva funci´on
que depende de los t´erminos indicados. Esto demuestra que T tambi´en es
suficiente para τpθq.
200. a)Sea t cualquier posible valor de T `a.Entonces la distribuci´on conjunta
de la muestra aleatoria dado T `a “ t se reduce a la misma distribuci´on