Page 375 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 367

191. Llevando a cabo las operaciones indicadas, puede comprobarse el c´alculo de
la esperanza que aparece abajo. De all´ıse obtiene el resultado buscado.

B 2 r
E rp ln fpX, θqq s“ .
2
Bθ θ p1 ´ θq
192. Como τpθq“ θ,se tiene que τ pθq“ 1. Es inmediato comprobar que
1
B X
ln fpX; θq“ ´ 1.
Bθ θ
Por lo tanto,

B 2 1
Erp ln fpX; θqq s“ .
Bθ θ
La cota inferior de Cram´er-Rao es entonces
θ
ˆ
CICRpθq“ , θ ą 0.
n
ˆ
ˆ
a)Claramente Epθq“ θ yVarpθq“ θ.Severificaentonces que
ˆ θ ˆ
CICRpθq“ ď θ “ Varpθq.
n
ˆ
b) θ es insesgado para θ ysuvarianzaes θ{n.Este es un ejemplo en
donde la varianza del estimador insesgado alcanza (coincide con) la
cota inferior de Cram´er-Rao.
193. Como τpθq“ θ,se tiene que τ pθq“ 1. Es inmediato comprobar que
1

B X ´ θ
ln fpX; θq“ .
Bθ σ 2
Por lo tanto,

B 2 1
Erp ln fpX; θqq s“ .
Bθ σ 2
La cota inferior de Cram´er-Rao es entonces

σ 2
ˆ
CICRpθq“ .
n
ˆ
2
194. Claramente Epθq“ EpX q“ θ.Adem´as,
1
ˆ 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 2
Varpθq“ VarpX q“ pEpX q´ E pX qq “ p3θ ´ θ q“ θ .
1
n n n n
ˆ
Se aplica la definici´on para comprobar que CICRpθq tiene esta misma expre-
4
2
si´on. Se usa nuevamente que EpX q“ 3θ .