Page 374 - EI2019.pdf

366 Ap´ endice B

185. Se aplica la desigualdad de Chebyshev: para cualquier , ą 0ycualquier
n´umero real a,
1
2
Pp|X ´ a| ą ,q ď EpX ´ aq .
, 2
Por lo tanto,

1 1
ˆ ˆ 2 ˆ
Pp|θ n ´ θ| ą ,q“ Epθ n ´ θq “ ECMpθ n qÑ 0.
, 2 , 2

2
2
186. Recordemos que, en este caso, la varianza muestral S es tal que pn´1qS {θ
2
2
tiene distribuci´on χ pn ´ 1q.Por lo tanto, Varppn ´ 1qS {θq“ 2pn ´ 1q.
2
2
De donde se obtiene que VarpS q“ 2θ {pn ´ 1q.Esta es la expresi´on para
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ECMpθ 1 q,pues θ 1 es insesgado. Por otro lado, como θ 2 “ppn´1q{pn`1qqθ 1 ,
n ´ 1
ˆ ˆ 2
ECMpθ 2 q“ Varpθ 2 q`p θ ´ θq
n ` 1
n ´ 1 4
ˆ
2
“p q Varpθ 1 q` θ 2
n ` 1 pn ` 1q 2
2pn ´ 1q 2 4 2
“ 2 θ ` 2 θ
pn ` 1q pn ` 1q
2 2
“ θ
n ` 1
2 2
ă θ
n ´ 1
ˆ
“ ECMpθ 1 q.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
187. Epθq“ θ,Varpθq“ θp1 ´ θq{n,Bpθq“ 0yECMpθq“ θp1 ´ θq{n.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
188. Epθq“ θ,Varpθq“ θ{n,Bpθq“ 0yECMpθq“ θ{n.
ˆ
189. Claramente Epθq“p1{kqpkθq“ θ.Adem´as,
1 1 θp1 ´ θq
ˆ
Varpθq“ kθp1 ´ θq“ .
2
k n nk
Se aplica la definici´on para comprobar que CICRpθq tiene esta misma expre-
si´on.
190. Llevando a cabo las operaciones indicadas, puede comprobarse el c´alculo de
la esperanza que aparece abajo. De all´ıse obtiene el resultado buscado.

B 2 1
E rp ln fpX, θqq s“ .
2
Bθ θ p1 ´ θq