Page 373 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 365

2
4
De donde se obtiene que VarpS q“ 2σ {pn ´ 1q.Por la desigualdad de
Chebyshev,
2 2σ 4
2 2 VarpS q
Pp|S ´ σ | ą ,q ď “ Ñ 0.
2
, 2 , pn ´ 1q
ˆ
181. Sea θ n “ X p1q .Paracualquier , ą 0,
ˆ ˆ
Pp|θ n ´ θ| ą ,q “ Ppθ n ą θ ` ,q
n
“ pPpX 1 ą θ ` ,qq
“ e ´n&
Ñ 0, cuando n Ñ8.

182. Como el estimador es insesgado, por la desigualdad de Chebyshev, es sufi-
ˆ
ciente demostrar que VarpθqÑ 0. En efecto,

ˆ 1 ˆ 1 25 6 3
Pp|θ n ´ θ| ą ,q ď Varpθ n q“ pEpX q´ EpX qq Ñ 0.
2
, 2 , n
2
183. Tome la funci´on convexa ϕpxq“ x .
184. a)Claramente EpX 1 q“ µ pero X 1 es una v.a. que no depende del tama˜no
de muestra n,y porlo tantono convergeen probabilidad a µ.
¯
¯
b)Claramente EpXq“ µ y X converge en probabilidad a la constante µ.
Este ´ultimo resultado es la ley d´ebil de los grandes n´umeros.
2 n´1 2 2
c)Puede comprobarse que Epˆσ q“ n σ ,yporlotanto ˆσ no es in-
2
sesgado para σ .Para demostrarla consistencia se usa la siguiente
desigualdad de Chebyshev: para cualquier , ą 0ycualquier n´umero
real a,
1
2
Pp|X ´ a| ą ,q ď EpX ´ aq .
, 2
Por lo tanto,

1
2 2 2 2 2
Pp|ˆσ ´ σ | ą ,q ď Epˆσ ´ σ q
, 2
1 σ 2
2
2
“ Epˆσ ´ Epˆσ q´ q 2
, 2 n
1 σ 4
2
“ r Varpˆσ q´ s
, 2 n 2
Ñ 0,
cuando n Ñ8,pues puede verificarse que

2 2pn ´ 1q 4
Varpˆσ q“ σ .
n 2