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364 Ap´ endice B

179. a)

2 ` 4 `¨ ¨ ¨ ` 2n
EpTq“ µ
npn ` 1q

2p1 ` 2 `¨ ¨ ¨ ` nq
“ µ
npn ` 1q
“ µ.

b)Puede comprobarse que T tiene distribuci´on normal con media µ y
varianza

2 2 2
2 ` 4 `¨ ¨ ¨ ` p2nq 2
VarpTq“ σ
2
n pn ` 1q 2
2 2 2 2
2 p1 ` 2 `¨ ¨ ¨ ` n q 2
“ σ
2
n pn ` 1q 2
2 npn`1qp2n`1q
2 p 2 2 q
n pn`1q 2
“ σ
2
n pn ` 1q 2
2p2n ` 1q 2
“ σ .
3npn ` 1q
Conforme n tiende a infinito, la varianza se aproxima a cero. Esto
implica que T tiende en probabilidad a la media µ.

c)Si µ es negativa, no puede haber convergencia en probabilidad de
T 1 “ m´axt0,Tu a µ pues µ ă 0 ď T 1 .Supongamos ahoraque µ ě 0.
Recordemos que la convergencia en probabilidad a una constante es
equivalente a la convergencia en distribuci´on a la misma constante.
Entonces

PpT 1 ď xq“ Ppm´axt0,Tu ď xq

“ Pp0 ď x, T ď xq
“ PpT ď xq¨ 1 r0,8q pxq
#
1 si x ě µ,
“
0 si x ă µ.

Por lo tanto, cuando µ ě 0, T 1 converge en probabilidad a µ,es decir,
es un estimador consistente.

2
2
180. Recordemos que, en este caso, la varianza muestral S es tal que pn´1qS {σ 2
2
2
2
tiene distribuci´on χ pn ´ 1q.Por lo tanto,Varppn ´ 1qS {σ q“ 2pn ´ 1q.