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Sugerencias a los ejercicios 363

170. Como X 1 `¨ ¨ ¨`X n tiene distribuci´on binpn, θq,se tiene que, cuando n Ñ8,

¯
2
VarpXq“ nθp1 ´ θq{n Ñ 0.
¯
Siendo X insesgado, se concluye que este estimador es consistente.
ˆ
171. Puede comprobarse que el estimador θ n “ m´axtX 1 ,...,X n u es asint´otica-
ˆ
mente insesgado pues Epθ n q“ nθ{pn ` 1q.Por lo tanto, es suficiente com-
probar que su varianza tiene a cero cuando n Ñ8.

ˆ ˆ 2 2 ˆ n n 2 n
Varpθ n q“ Epθ q´ E pθ n q“ θ ´ θ “ θ Ñ 0.
n
n ` 2 pn ` 1q 2 pn ` 2qpn ` 1q 2
¯ 2
2
172. Sabemos que el estimador 1 ř n pX i ´ Xq es insesgado para σ .
n´1 i“1
173. Dado que los estimadores son insesgados, por la desigualdad de Chebyshev,
1 1 k 1 `¨ ¨ ¨ ` k n
ˆ ˆ
a) Pp|θ n ´ θ| ą ,q ď Varpθ n q“ θp1 ´ θqÑ 0.
2
, 2 , pk 1 `¨ ¨ ¨ ` k n q 2
1 2
ˆ ˆ 1 k 1 ` 4k 2 `¨ ¨ ¨ ` n k n
b) Pp|θ n ´ θ| ą ,q ď Varpθ n q“ θp1 ´ θqÑ 0.
2
, 2 , pk 1 ` 2k 2 ¨¨¨ ` nk n q 2
p
¯
174. Por la ley d´ebil de los grandes n´umeros, X Ñ 1{θ.Deaqu´ıse obtieneque
p
¯
1{X Ñ θ.
175. Claramente el estimador es insesgado. Adem´as el estimador no es constante
ytiene la misma distribuci´on de probabilidad para cualquier n,por lotanto,
no puede converger en probabilidad al par´ametro.
p
¯
176. Por la ley d´ebil de los grandes n´umeros, X Ñ 1{θ.Puede comprobarse que
p
ˆ
θ Ñ θ{p1 ` θq.
ˆ ř n
177. El estimador por m´axima verosimilitud es θ “´1 ´ n{ ln X i . Defina la
i“1
variable aleatoria Y i “´ ln X i .Sepuede comprobar que Y i tiene distribuci´on
exppθ`1q,ysu media, porlotanto, es1{pθ`1q.Porla ley d´ebil de los grandes
n´umeros,
n
1 ÿ p 1
´ ln X i Ñ .
n θ ` 1
i“1
Tomando inverso multiplicativo y restando uno de cada lado, se demuestra
p
ˆ
que θ Ñ θ.
178. Dado que el estimador es insesgado, por la desigualdad de Chebyshev,

1 1 9
ˆ ˆ
Pp|θ n ´ θ| ą ,q ď Varpθ n q“ VarpXqÑ 0.
2
, 2 , n