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362 Ap´ endice B

e)Sea , ą 0arbitraria. Definalos eventos

“p|θ n ´ θ| ą ,q,
A n
“p|1{θ n ´ 1{θ| ą ,q.
B n

Entonces

c
PpB n q“ PpB n X A n q` PpB n X A q
n
ď PpA n q` Pp|1{θ n ´ 1{θ| ą ,, |θ n ´ θ| ď ,q.

Ahora analizamos el evento p|θ n ´ θ| ď ,q.Tenemos que

p|θ n ´ θ| ď ,q “ pθ ´ , ď θ n ď θ ` ,q
“p|θ|pθ ´ ,q ď θ n ¨|θ| ď |θ|pθ ` ,qq
Ď p´|θ|p|θ|` ,q ď θ n ¨|θ| ď |θ|p|θ|` ,qq
“p|θ n ¨ θ| ď |θ|p|θ|` ,qq.

Retomando el c´alculo de las probabilidades anteriores, tenemos que

PpB n q ď PpA n q` Pp|θ n ´ θ|{|θ n ¨ θ| ą ,, |θ n ´ θ| ď ,q
“ PpA n q` Pp|θ n ´ θ| ą , ¨|θ n ¨ θ|, |θ n ´ θ| ď ,q
ď PpA n q` Pp|θ n ´ θ| ą ,{p|θ|p|θ|` ,qqq
Ñ 0.

168. Sea , ą 0 arbitraria. Como ϕ es continua, existe δ ą 0 tal que si ocurre el
evento p|θ n ´ θ| ď δq,entoncesocurre elevento p|ϕpθ n q´ ϕpθq| ď ,q. Defina
los eventos A n “p|θ n ´ θ| ą δq y B n “p|ϕpθ n q´ ϕpθq| ą ,q.Entonces

c
PpB n q “ PpB n X A n q` PpB n X A q
n
ď PpA n q` Pp|ϕpθ n q´ ϕpθq| ą ,, |θ n ´ θ| ď δq
“ PpA n q

Ñ 0.

169. Tenemos que

2 2 2
EpX ´ aq “ ErpX ´ aq ¨ 1 s` ErpX ´ aq ¨ 1 s
p|X´a|ą&q p|X´a|ď&q
2
ě ErpX ´ aq ¨ 1 p|X´a|ą&q s
2
ě , ¨ Ep1 p|X´a|ą&q q
2
“ , ¨ Pp|X ´ a| ą ,q.