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Sugerencias a los ejercicios 361

c)Sea , ą 0arbitraria. Definalos eventos

“tω : |θ n ´ θ| ą ,u,
A n
2
2
“tω : |θ ´ θ | ą ,u.
B n n
Entonces

c
PpB n q“ PpB n X A n q` PpB n X A q
n
ď PpA n q` Pp|θ n ` θ|¨|θ n ´ θ| ą ,, |θ n ´ θ| ď ,q.

Ahora analizamos el evento p|θ n ´ θ| ď ,q.Tenemos que

p|θ n ´ θ| ď ,q“pθ ´ , ď θ n ď θ ` ,q

“p2θ ´ , ď θ n ` θ ď 2θ ` ,q
Ď p´2|θ|´ , ď θ n ` θ ď 2|θ|` ,q
“p|θ n ` θ| ď 2|θ|` ,q.

Retomando el c´alculo de las probabilidades anteriores, tenemos que

PpB n q ď PpA n q` Pp|θ n ´ θ| ą ,{|θ n ` θ|, |θ n ´ θ| ď ,q
ď PpA n q` Pp|θ n ´ θ| ą ,{p2|θ ` ,|q, |θ n ´ θ| ď ,q
ď PpA n q` Pp|θ n ´ θ| ą ,{p2|θ ` ,|qq
Ñ 0.

d)Sea , ą 0arbitrario. Definalas cantidades

, 1 “ ln p1 ´ ,e ´θ q ă 0,
“ ln p1 ` ,e ´θ q ą 0.
, 2

Estos n´umeros se pueden hacer tan peque˜nos como se desee haciendo
, suficientemente peque˜no, y se definen de la forma anterior pues son
tales que

ˆ
0 “ l´ım Pp, 1 ď θ n ´ θ ď , 2 q
nÑ8
.
.
.
ˆ θ
“ l´ım Pp|e θ n ´ e | ď ,q.
nÑ8