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360 Ap´ endice B

La ´ultima afirmaci´on se sigue del hecho de que el primer t´ermino converge a
uno y el segundo t´ermino converge a cero pues

ˆ ˆ ˆ
Ppθ n ´ θ ă θ ´ xq ď Ppθ n ´ θ ă θ ´ xq` Ppθ n ´ θ ą x ´ θq
ˆ
“ Pp|θ n ´ θ| ą x ´ θq
Ñ 0.

Suponga ahora x ă θ.Entonces

ˆ
F ˆ pxq “ Ppθ n ´ θ ď x ´ θq
θ n
ˆ ˆ
ď Ppθ n ´ θ ď x ´ θq` Ppθ n ´ θ ě θ ´ xq
ˆ
“ Pp|θ n ´ θ| ě θ ´ xq

Ñ 0.

d
ˆ
(ð)Suponga θ n Ñ θ.Sea , ą 0arbitraria. Entonces
ˆ ˆ
Pp|θ n ´ θ| ď ,q “ Pp´, ď θ n ´ θ ď ,q
ˆ
“ F ˆ pθ ` ,q´ Ppθ n ´ θ ă ´,q
θ n
Ñ 1.

Claramente el primer t´ermino converge a uno por hip´otesis y el segundo
t´ermino converge a cero pues

ˆ ˆ ˆ
Ppθ n ´ θ ă ´,q ď Ppθ n ´ θ ă ´,q` Ppθ n ´ θ ą ,q
ˆ
“ Pp|θ n ´ θ| ą ,q
Ñ 0.

167. Sea , ą 0arbitrario.

ˆ
ˆ
a) Pp|paθ n ` bq´paθ ` bq| ą ,q“ Pp|θ n ´ θ| ą ,{|a|q Ñ 0.
b)Se usa la desigualdad ||a|´|b|| ď |a ´ b|.Para cualquier , ą 0,

ˆ
1 “ l´ım Pp|θ n ´ θ| ď ,q
nÑ8
ˆ
ď l´ım Pp| |θ n |´|θ|| ď ,q.
nÑ8