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Sugerencias a los ejercicios 359

ř n
163. Como i“1 X i tiene distribuci´on gamapn, λq ysuponiendo n ě 2, se tiene
que

ˆ ¯
Epλq “ Ep1{Xq
n
ÿ
“ Epn{ X i q
i“1
ż
8 n´1
n pλxq ´λx
“ λ e dx
0 x pn ´ 1q!
ż 8 n´2
n pλxq
“ λ λ e ´λx dx
n ´ 1 0 pn ´ 2q!
n
“ λ.
n ´ 1
ˆ
Esta ´ultima cantidad es distinta de λ ypor lo tanto λ no es insesgado. Sin
embargo, el l´ımite de dicha cantidad cuando n tiende a infinito es λ ydeesta
manera se cumple la propiedad de insesgamiento asint´otico.

164. Puede comprobarse que la funci´on de densidad del estimador X p1q es

#
ne ´npx´θq si x ě θ,
px; θq“
f X p1q
0 en otro caso.
La esperanza de esta variable aleatoria es EpX q“ θ ` 1{n.
p1q
165. En la soluci´on del Ejercicio 147 se demuestra la igualdad que aparece abajo.
El insesgamiento asint´otico se sigue inmediatamente.
n
ˆ
Epθ n q“ θ.
n ´ 1

166.
p
ˆ
(ñ)Suponga θ n Ñ θ.Senecesitademostrar que, para x ‰ θ,
#
1si x ą θ,
l´ım F ˆ pxq“
θ n 0si x ă θ.
nÑ8

Suponga x ą θ.Entonces

ˆ
F ˆ pxq “ Ppθ n ´ θ ď x ´ θq
θ n
ˆ ˆ
“ Pp|θ n ´ θ| ď x ´ θq` Ppθ n ´ θ ă θ ´ xq
Ñ 1.