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358 Ap´ endice B

159. Se usan las hip´otesis de independencia e id´entica distribuci´on de las variables
de la muestra aleatoria.

n
1 ÿ
¯ 2
EpX q “ EpX i X j q
n 2
i,j“1
1 2
“ pnEpX q` npn ´ 1qEpX 1 qEpX 2 qq
1
n 2
1 2 2
“ pnpθ ` θ q` npn ´ 1qθ q
n 2
1
“ θ ` θ 2
n
2
Ñ θ .

θ n n
ż
160. a) EpX q“ x ¨ x n´1 dx “ θ.Claramente l´ım EpX q“ θ.
pnq θ n n ´ 1 pnq
0 nÑ8
n ´ 1
ˆ
b)Por el inciso anterior, se sugiere θ “ X .
n pnq

ˆ
161. Se puede comprobar que el estimador θ n no es insesgado pues se cumple la
identidad de abajo. A partir de ella es inmediato verificar que este estimador
es asint´oticamente insesgado.

n
ˆ
Epθ n q“ θ.
n ´ 1

162. Desarrollando el cuadrado, tenemos que

n
1 ÿ ÿ
¯ 2 2
EpX q “ p EpX q` EpX i X j qq
i
n 2
i“1 i‰j
1
2
“ pnEpX q` npn ´ 1qEpX 1 qEpX 2 qq
1
n 2
1
2
2
“ pnEpX q` npn ´ 1qθ q
1
n 2
Ñ θ 2 cuando n Ñ8.