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Sugerencias a los ejercicios 357

ř n
152. Como i“1 X i tiene distribuci´on binpn, pq,se tiene que
¯ ¯ ¯ ¯ 2
EpXp1 ´ Xqq “ EpXq´ ErpXq s
n
ÿ
2 2
“ p ´p1{n q Erp X i q s
i“1
2 2 2
“ p ´p1{n qpnpp1 ´ pq` n p q
2
“ p ´p1{nqpp1 ´ pq´ p ,

2
lo cual es distinto de pp1´pq.Sinembargo, p´p1{nqpp1´pq´p Ñ pp1´pq
¯
¯
cuando n Ñ8 ypor lotanto Xp1 ´ Xq es asint´oticamente insesgado.
¯
153. Tomando a n “ 1{n se comprueba que X pertenece a la colecci´on E .Cualquier
estimador que pertenece a E y que es insesgado es tal que a 1 `¨ ¨ ¨ ` a n “ 1.
2
Por otro lado, la varianza de un estimador en esta colecci´on es pa `¨ ¨ ¨ `
1
2
a q VarpX 1 q.Por lo tanto, encontrarel estimador dentro de esta colecci´on
n
que es insesgado y tiene varianza m´ınima equivale a minimizar la funci´on
2
2
gpa 1 ,...,a n q“ a `¨ ¨ ¨ ` a ,sujeto a a 1 `¨ ¨ ¨ ` a n “ 1. Este problema es
1
n
equivalente a minimizar la funci´on
2
2
hpa 1 ,...,a n´1 q“ a `¨ ¨ ¨ ` a 2 `p1 ´ a 1 ´¨ ¨ ¨ ´ a n´1 q .
1 n´1
Sea a n “ 1 ´ a 1 ´¨ ¨ ¨ ´ a n´1 .Derivando respecto de a i para i “ 1,...,n ´ 1
eigualando acero se encuentraque a i “ a n ,es decir, a i es constante igual
a1{n.Sin mucha dificultad puede demostrarse que se trata de un m´ınimo
comprobando que la matriz hessiana es positiva definida. V´ease el ap´endice
donde se revisa este criterio.
154. Aplique la propiedad de linealidad de la esperanza.

ˆ 1
155. Epλq“ EpX t n q“ λ.
t n
156.
n
n
2
1 ÿ q 2 1 ÿ σ pt i ´ t i´1 q
2 EpB t i ´ B t i´1 2
Epˆσ q“ “ “ σ .
n t i ´ t i´1 n t i ´ t i´1
i“1 i“1
n
1 ÿ ÿ θ n ´ 1
ˆ 2 ¯ 2 2 2 2
157. Epθ q“ EpX q“ p EpX q` EpX i qEpX j qq “ ` θ ‰ θ .
i
n 2 n n
i“1 i‰j
ˆ
¯
¯
158. Se puede comprobar que el estimador θ n “ Xp1 ´ Xq no es insesgado pues
se cumple la identidad de abajo. A partir de ella es inmediato verificar que
este estimador es asint´oticamente insesgado.
n ´ 1
ˆ
Epθ n q“ θp1 ´ θq.
n