Page 364 - EI2019.pdf

356 Ap´ endice B

¯
144. a) EpXq“ EpX 1 q“ 1 ` θ.
ˆ
¯
b)Por el inciso anterior, se sugiere θ “ X ´ 1.
145. Sea X una variable aleatoria con la distribuci´on especificada. Puede compro-
ˆ
3
3
barse que EpX q“ θ{5. Por lo tanto, Epθq“ 5EpX q“ θ.
ˆ
146. Epθq“ 3EpXq“ θ.
147. a)Para cualquier x ą 0,

ˇ ´x
e
ż e ´x ˇ
θ ˇ
Pp´ ln X i ą xq“ PpX i ă e ´x q“ θu θ´1 du “ u ˇ “ e ´θx .
0 ˇ
0
ř n
b)Por el inciso anterior, ´ ln X i tiene distribuci´on gamapn, θq.En-
i“1
tonces
ż n´1
n 8 1 pθxq
Ep ř n q “ n θ e ´θx dx
´ ln X i x pn ´ 1q!
i“1 0
n
“ θ.
n ´ 1
n
ř
c)Por el inciso anterior, el estimador ´pn ´ 1q{ i“1 ln X i es insesgado.
148. Por la propiedad de linealidad de la esperanza,

n
1 ÿ
ˆ 2
Epθq“ EpX i ´ µq
n
i“1
n
1 ÿ 2 2
“ pEpX q´ 2µEpX i q` µ q
i
n
i“1
1
2
2
“ pnEpX q´ 2nµEpX 1 q` nµ q
1
n
1
2
2
2
“ pnpθ ` µ q´ 2nµ ` nµ q
n
“ θ.
149. Por la propiedad de la linealidad de la esperanza,
ˆ
ˆ
ˆ
Epθq“ α Epθ 1 q`p1 ´ αq Epθ 2 q“ αθ `p1 ´ αq θ “ θ.
ˆ
2
150. Epθq“ EpX q“ θ.
1
151. EpTq“ Epϕ 1 pX 1 q¨¨¨ ϕ n pX n qq “ Epϕ 1 pX 1 qq ¨ ¨ ¨ Epϕ n pX n qq
“ ϕ 1 pEpX 1 qq ¨ ¨ ¨ ϕ n pEpX n qq “ ϕ 1 pθq¨¨¨ ϕ n pθq“ τpθq.