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Sugerencias a los ejercicios 355

137. Observe que X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n tiene distribuci´on gammapn, θq.Porlo tanto,

ż
8 n´1
ˆ n pθxq ´θx
Epθq “ θ e dx
0 x pn ´ 1q!
ż 8 n´2
n pθxq
“ θ θ e ´θx dx
n ´ 1 0 pn ´ 2q!
n
“ θ.
n ´ 1
ˆ ř n
Se propone como estimador insesgado pn ´ 1qθ{n “pn ´ 1q{ X i .
i“1
138. Puede comprobarse que la variable aleatoria |X i | tiene distribuci´on exppθq,
yporlotanto, |X 1 |`¨ ¨ ¨`|X n | tiene distribuci´on gammapn, θq.Elc´alculo es
el mismo que el del ejercicio anterior. Se propone como estimador insesgado
ˆ ř n
pn ´ 1qθ{n “pn ´ 1q{ i“1 |X i |.
139. La media muestral resulta ser el estimador insesgado de menor varianza.
2
a)Insesgado con varianza σ .
b)No insesgado.
2
c)Insesgado con varianza σ {2.
d)No es insesgado.
2
e)Insesgado con varianza σ {4.
f )No es insesgado.
2
g)Insesgado con varianza p7{18qσ .
2
h)Insesgado con varianza p3{10qσ .
140. Use la propiedad de linealidad de la esperanza.

141. Use integraci´on por partes.
ż
8 2x
2
ˆ 2 2 ´x {θ
Epθq“ EpX q“ x ¨ e dx “¨ ¨ ¨ “ θ.
0 θ
¯
142. a) EpXq“ θ ` 1.
¯
b) X ´ 1es insesgado.
ˆ ř n
143. El estimador por m´axima verosimilitud es θ “´1 ´ n{ ln X i . Se com-
i“1
ř n
prueba que ´ ln X i tiene distribuci´on exppθ`1q,yporlotanto, ´ ln X i
i“1
tiene distribuci´on gammapn, θ`1q. Usando estos resultados se demuestra que
ˆ 1 ` nθ
Epθq“ ‰ θ.
n ´ 1
ˆ
De la igualdad anterior se encuentra que un estimador insesgado es θ 0 “
ˆ
ppn ´ 1qθ ´ 1q{n.