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354 Ap´ endice B

b)Se usa el hecho de que X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n tiene distribuci´on bin negpn, θq.

n ´ 1
ˆ
Epθq“ Ep q
pn ´ 1q`pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
8 ˆ ˙
ÿ n ´ 1 n ` x ´ 1
n
“ θ p1 ´ θq x
n ´ 1 ` x x
x“0
ˆ ˙
8
ÿ pn ´ 1q` x ´ 1
“ θ θ n´1 p1 ´ θq x
x
x“0
“ θ.

136. El procedimiento es similar al caso de la distribuci´on geopθq.

a)Si r “ 1, esto se reduce al caso de la distribuci´on geopθq yel estimador
no es insesgado. Suponga r ě 2. Usaremos el segundo inciso de este
problema y la siguiente estimaci´on.

¯
r X
Ep q“ 1 ´ Ep q
¯
¯
r ` X r ` X
¯
nX
“ 1 ´ Ep ¯ q
nr ` nX
¯
nX
ă 1 ´ Ep q
¯
pnr ´ 1q` nX
nr ´ 1
“ Ep ¯ q
pnr ´ 1q` nX
1
“ Ep n ¯ q
1 ` X
nr´1
“ θ.

b)Se usa el hecho de que X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n tiene distribuci´on bin negpnr, θq.

nr ´ 1
ˆ
Epθq “ Ep q
pnr ´ 1q`pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
ˆ ˙
8
ÿ nr ´ 1 nr ` x ´ 1 nr x
“ θ p1 ´ θq
nr ´ 1 ` x x
x“0
8 ˆ ˙
ÿ pnr ´ 1q` x ´ 1
“ θ θ nr´1 p1 ´ θq x
x
x“0
“ θ.