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Sugerencias a los ejercicios 353

131. El resultado es evidente a partir de la observaci´on de que X p1q ` X p2q “
X 1 `X 2 yque la mediamuestrales insesgado. Alternativamente, no es dif´ıcil
comprobar que estas estad´ısticas de orden tienen distribuci´on Bernoulli. El
promedio de sus esperanzas produce el par´ametro θ.

132.

¯ ¯ ¯ ¯ 2
EpXp1 ´ Xqq “ EpX ´ X q
n n
1 ÿ 1 ÿ
“ θ ´ Erp X i qp X j qs
n n
i“1 j“1
1
2
“ θ ´ pnEpX q` npn ´ 1q EpX 1 X 2 qq
1
n 2
1 npn ´ 1q
“ θ ´ θ ´ θ 2
n n 2
n ´ 1
“ θp1 ´ θq.
n
n
¯
¯
Se propone como estimador insesgado a Xp1 ´ Xq.
n ´ 1
133. a) EpX 1 {kq“ kθ{k “ θ.
b) EppX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q{knq“ npkθq{kn “ θ.

134. a)Es insesgado.
b)Es insesgado.

135. a)Considere el caso n “ 1. Puede usarse la siguiente estimaci´on.

1
ˆ
Epθq“ Ep q
1 ` X
8
ÿ 1
“ θ p1 ´ θq x
1 ` x
x“0
8
ÿ 1
“ θ ` θ p1 ´ θq x
1 ` x
x“1
ą θ.

Considere ahora cualquier valor natural de n.Puedeusarse elsegundo
inciso de este problema y la siguiente estimaci´on.

1 1
Ep ¯ q ą Ep n ¯ q“ θ.
1 ` X 1 ` X
n´1