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352 Ap´ endice B

128. La funci´on de verosimilitud es, para 0 ď x 1 ď ¨¨¨ ď x n enteros,

Lpλq px 1 ,...,x n q
,...,X t n
“ f X t 1
px 1 ,x 2 ´ x 1 ,...,x n ´ x n´1 q
“ f X t 1
n´1
,X t 2 ´X t 1 ,...,X t n ´X t
px n ´ x n´1 q
px 2 ´ x 1 q¨¨¨ f X t n
px 1 qf X t 2
n´1
´X t 1 ´X t
“ f X t 1
n
ź pt i ´ t i´1 q x i ´x i´1
“ e ´λt n ¨ λ x n ¨ .
px i ´ x i´1 q!
i“1
Se define t 0 “ 0y x 0 “ 0. Tomando logaritmo, derivando respecto de λ e
igualando a cero se obtiene λ “ x n {t n .Calculandola segunda derivada del
logaritmo de la funci´on de verosimilitud y evaluando en este valor de λ,se
verifica que este punto es un m´aximo. El estimador m´aximo veros´ımil para
λ es entonces
ˆ X t n
λ “ .
t n
129. La funci´on de verosimilitud es

2
px 1 ,...,x n q
,...,B t n
Lpσ q“ f B t 1
px 1 ,x 2 ´ x 1 ,...,x n ´ x n´1 q
n´1
,B t 2 ´B t 1 ,...,B t n ´B t
“ f B t 1
px n ´ x n´1 q
px 2 ´ x 1 q¨¨¨ f B t n
´B t 1 ´B t
“ f B t 1
n´1
px 1 qf B t 2
n n 2
ź 1 ÿ px i ´ x i´1 q
2 n{2 ´1{2
“p2πσ q ¨ pt i ´ t i´1 q ¨ expt´ u
2σ 2 t i ´ t i´1
i“1 i“1
2
Se define t 0 “ 0y x 0 “ 0. Tomando logaritmo, derivando respecto de σ e
igualando a cero se obtiene
n
1 ÿ px i ´ x i´1 q 2
2
σ “ .
n t i ´ t i´1
i“1
Calculando la segunda derivada del logaritmo de la funci´on de verosimilitud y
2
evaluando en el valor de σ anterior, se verifica que este punto es un m´aximo.
2
As´ı, el estimador m´aximo veros´ımil para σ es
n
1 ÿ q 2
2 pB t i ´ B t i´1
ˆ σ “ .
n t i ´ t i´1
i“1
ˆ
ˆ
130. Tomando esperanza en la desigualdad θ n ´ θ ď |θ n ´ θ| ydespu´es tomando
ˆ
ˆ
ˆ
el l´ımite, se obtiene l´ım nÑ8 Epθ n q ď θ.Ahorasepartede θ ´θ n ď |θ n ´θ| y
siguiendo el mismo razonamiento se llega a la desigualdad l´ımite contraria.
Esto demuestra la igualdad.