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350 Ap´ endice B

a) Considerando la informaci´on completa de cada hora, la distribuci´on de
inter´es es binpk, θq con k “ 10 y θ desconocido. En este caso, el estimador
ˆ
¯
por el m´etodo de momentos para θ es θ “ X{10. Como ¯x “ 8{8 “ 1,
ˆ
tenemos que θ “ 1{10.
b) Considerando cada art´ıculo seleccionado, la distribuci´on de inter´es es
Berpθq,con θ desconocido. El n´umero de observaciones aqu´ı es 80, de
ˆ
las cuales 8 fueron ´exitos. Por lo tanto, θ “ 8{80 “ 1{10.

116.

ˆ
ˆ
¯
a) θ “ 4p2 ´ Xq. h) θ “ X pnq .
ˆ 6 ř n
b) θ “ pn ´ 1 pX i qq.
ˆ
5n i“1 t0u i) θ “ X .
ˆ 3 ř n p1q
c) θ “ pn ´ 1 pX i qq.
2n i“1 t1u ˆ ř n
ˆ
d) θ “ X . j) θ “´n{ i“1 ln X i .
pnq
ˆ
ˆ
e) θ “ X . k) ř n 1{p1 ` θX i q“ n
pnq i“1
ˆ
¯
f ) θ “ 1{X. (Soluci´on impl´ıcita).
ˆ
g) θ “ X pnq . l)No existe.
117. Aplique el m´etodo de m´axima verosimilitud.
118. La probabilidad a estimar es la funci´on parametral τppq“ PpX ě 2q“
4
5
1 ´ PpX “ 0q´ PpX “ 1q“ 1 ´p1 ´ pq ´ 5pp1 ´ pq .Aplicandoel
m´etodo de m´axima verosimilitud se encuentra que la estimaci´on para p es
ˆ p “ ¯x{5 “ 2.12{5 “ 0.424. Por lo tanto, la estimaci´on para τppq es τpˆpq“
5
4
1 ´p1 ´ 0.424q ´ 5p0.424qp1 ´ 0.424q “ 0.703237.
119. Se debe recordar que la funci´on de densidad conjunta de las primeras k
estad´ısticas de orden X p1q ,...,X pkq ,para1 ď k ď n es, para x 1 ă ¨¨¨ ă x k ,

ˆ ˙
n
px 1 ,...,x k q“ k!fpx 1 q¨¨¨ fpx k qr1 ´ Fpx k qs n´k .
f X p1q ,...,X pkq
k
Substituyendo las expresiones para fpxq y Fpxq en el caso exppθq,se encuen-
tra la funci´on de verosimilitud Lpθq.Maximizandoesta funci´on se llega a que
el estimador para θ es

k
ˆ
θ “ ,
¯
kX `pn ´ kqX
pkq pkq
¯
en donde X “pX `¨¨¨` X q{k.Observe que el estimador encontrado
pkq p1q pkq
¯
se reduce a 1{X cuando k “ n.