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Sugerencias a los ejercicios 349

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i) θ “ X. n) θ “ Γp1 ` 1{αq{X.
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2
j) θ “ m 2 ´ µ .
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k) θ “ ap1 ´ Xq{X. ˜ n) θ “ 2X{pX ´ 1q.
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ˆ
l) θ “ bX{p1 ´ Xq. 2b 2
ˆ
ˆ
¯
m) Γp1 ` 1{θq“ λX. o) θ “ pb ´ 2qpb ´ 4qm 2 ´ b 2 .
109. Aplique el m´etodo de momentos.
ˆ
110. La estimaci´on por el m´etodo de momentos para θ es θ “ 1{p1 ` ¯xq“
0.3571429. Siendo este valor m´as cercano a 0.4, determinamos que proba-
blemente ´este es el valor para θ que se us´o. Observe que no hay completa
seguridad en nuestra afirmaci´on.
111. Aplique el m´etodo de momentos.
ˆ
112. La estimaci´on por el m´etodo de momentos para θ es θ “ 1{¯x “ 1.86. Siendo
este valor m´as cercano 2, determinamos que probablemente ´este es el valor
para θ que se us´o. No hay completa seguridad en nuestra afirmaci´on.
113. Los siguientes c´alculos se han obtenido usando R.

a) Usando las f´ormulas de los estimadores para los par´ametros de esta distri-
n n 2
ř ř
buci´on, tenemos que m 1 “p1{nq x i “ 1001.25 y m 2 “p1{nq x “
i“1 i“1 i
1003906. Por lo tanto,
m 2
ˆ γ “ 1 “ 713.683,
m 2 ´ m 2
1
ˆ m 1
λ “ “ 0.712792.
m 2 ´ m 2
1
ˆ
b) Sea X una variable aleatoria con distribuci´on gamapˆγ, λq.La probabilidad
buscada es PpX ą 1000q“ 0.5083321.

114. Los siguientes c´alculos se han obtenido usando R.
ř n ř n 2
Tenemos que m 1 “p1{nq x i “ 4.05 y m 2 “p1{nq x “ 16.084.
i“1 i“1 i
Por lo tanto,
2
4m ´ 3m 2
1
ˆ a “ “´1.142628,
2m 1 ´ 1
ˆ “ 3m 2 ´ 2m 1 “ 7.622628.
b
2m 1 ´ 1

115. Este problema puede modelarse de las dos formas siguientes: