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318 Ap´ endice A

‚ Convergencia en media.Sea X una variable aleatoria. Se dice que
m
la sucesi´on converge en media a X,yseescribe X Ñ X,si
n
l´ım E|X ´ X|“ 0.
n
nÑ8

‚ Convergencia en media cuadr´atica.Sea X una variable aleatoria.
Se dice que la sucesi´on converge en media cuadr´atica a X,y se escribe
m.c.
X n Ñ X,si
2
l´ım E|X ´ X| “ 0.
n
nÑ8
‚ Convergencia en distribuci´on.Sea X una variable aleatoria. Se
d
dice que la sucesi´on converge en distribuci´on a X,y seescribe X Ñ
n
X,sipara cualquier punto decontinuidad x de F pxq,
0
X
l´ım F X n px q“ F px q.
X
0
0
nÑ8
A este tipo de convergencia se le llama tambi´en convergencia d´ebil.

En [11], [12] o [21] se puede encontrar mayor informaci´on sobre estos tipos
de convergencia de variables aleatorias.

Dos teoremas de convergencia

Sea X ,X ,... una sucesi´on de variables aleatorias que es convergente en
2
1
el sentido casi seguro a la variable aleatoria X.El problema consiste en
determinar si la sucesi´on num´erica EpX q es convergente a EpXq,esdecir,
n
nos preguntamos si se cumple la igualdad

l´ım EpX q“ Ep l´ım X q.
n
n
nÑ8 nÑ8
Esta identidad equivale a poder intercambiar las operaciones de l´ımite y es-

peranza. Se pueden dar ejemplos en donde este intercambio de operaciones
no es v´alido. ¿Bajo qu´econdicionesse cumpleesta igualdad?Aqu´ıtenemos
dos resultados importantes que establecen condiciones suficientes para que
un l´ımite y la esperanza se puedan intercambiar.