Page 331 - EI2019.pdf

F´ ormulas varias 323

el n-´esimo momento satisface

ˆ ˙
d
n n´1
EpX q“ kθ ` θp1 ´ θq EpX q.
dθ
0 2 2
Empezando con EpX q“ 1, se obtiene EpXq“ kθ, EpX q“pkθq `
3
3
2
kθp1´θq, EpX q“pkθq `3pkθq p1´θq`kθp1´θqp1´2θq,etc´etera.
‚ La funci´on de probabilidad bin negpr, θq puede escribirse en la for-
` ˘
r r`x´1
ma (4) tomando apθq“ θ , bpxq“ y cpθq“ 1 ´ θ. Por lo
x
tanto, el n-´esimo momento satisface
ˆ ˙
n rp1 ´ θq d n´1
EpX q“ ´p1 ´ θq EpX q.
θ dθ

0 2
Empezando con EpX q“ 1, se obtiene EpXq“ rp1 ´ θq{θ, EpX q“
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3
r p1 ´ θq {θ `rp1 ´ θq{θ , EpX q“ r p1 ´ θq {θ `3r p1 ´ θq {θ `
3
2
2rp1 ´ θq{θ ´ rp1 ´ θq{θ ,etc´etera. El caso particular r “ 1corres-
ponde a la distribuci´on geopθq.

‚ La funci´on de probabilidad Poissonpθq puede escribirse en la forma (4)
tomando apθq“ e ´θ , bpxq“ 1{x!y cpθq“ θ.Porlo tanto, el n-´esimo
momento de esta distribuci´on satisface

ˆ ˙
n d n´1
EpX q“ θ ` θ EpX q.
dθ

2
0
2
Empezando con EpX q“ 1, se obtiene EpXq“ θ, EpX q“ θ ` θ,
3
4
2
2
3
3
4
EpX q“ θ ` 3θ ` θ, EpX q“ θ ` 6θ ` 7θ ` θ,etc´etera. Usando
el m´etodo de inducci´on puede comprobarse la f´ormula
n´1 ˆ ˙
ÿ n ´ 1
n
k
EpX q“ θ EpX q.
k
k“0
‚ La funci´on de densidad gamapα, θq puede escribirse en la forma (4)
α
tomando apθq“ θ , bpxq“ x α´1 {Γpαq and cpθq“ e ´θ .Estoincluye a