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322 Ap´ endice A

Demostraci´on. Se considera ´unicamente el caso continuo. En el caso
discreto, la demostraci´on sigue el mismo procedimiento.

ż
n n´1 x´1
EpX q“ apθq bpxq x rx pcpθqq s cpθq dx
ż „ 
d cpθq
“ bpxq x n´1 pcpθqq x apθq dx
dθ c pθq
1
ż „ d ˆ pcpθqq x`1 ˙ d ˆ cpθq ˙
“ bpxq x n´1 apθq ´pcpθqq x apθq dx
dθ c pθq dθ c pθq
1
1
ˆ ˙ ˆ ˆ ˙˙
d cpθq n´1 1 d cpθq n´1
“ EpX q ´ apθq EpX q
dθ c pθq apθq dθ c pθq
1
1
ˆ ˙
1
cpθq a pθq d n´1
“ ´ ` EpX q.
1
c pθq apθq dθ
‚
La f´ormula anterior permite escribir el n-´esimo momento en t´erminos de
un operador diferencial aplicado al momento n ´ 1. Esta f´ormula puede
considerarse una ecuaci´on diferencial y en diferencias. Y puede resolverse
0
empezando con el valor EpX q“ 1yprocediendode maneraiterativa.En
particular, usando (5) para n “ 1y n “ 2sepuedendemostrar lassiguientes
f´ormulas generales para la esperanza y la varianza.

1
cpθq a pθq
EpXq“´ ¨ ,
1
c pθq apθq
cpθq d
VarpXq“ ¨ EpXq.
c pθq dθ
1
Las funciones de densidad de la forma (4) pueden corresponder a distribucio-
nes discretas o continuas. A continuaci´on se proporcionan algunos ejemplos
en donde se especifican las funciones apθq, bpxq, cpθq,yse encuentrala forma
particular de la f´ormula (5). Por simplicidad, se omite la especificaci´on del

soporte de la distribuci´on.

‚ La funci´on de probabilidad binpk, θq puede escribirse en la forma (4)
` ˘
n n
tomando apθq“p1 ´ θq , bpxq“ y cpθq“ θ{p1 ´ θq. Por lo tanto,
x