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F´ ormulas varias 321

a) todos sus menores principales son positivos.

En el caso de la matriz (3) esto se reduce a las desigualdades

2
B f
px ,y q ą 0 y |Hpx ,y q| ą 0.
0
0
0
0
Bx 2
Estas condiciones son equivalentes a solicitar que la matriz Hpx ,y q
0
0
sea positiva definida. Esto significa que se debe cumplir lo siguiente:
` ˘
x 2
a) px, yqHpx ,y q y ě 0paratodo px, yqP R .
0
0
` ˘
x
b) px, yqHpx ,y q y “ 0 ô px, yq“p0, 0q.
0
0
Por simplicidad en la exposici´on, hemos considerado funciones reales de
´ unicamente dos variables, sin embargo, los criterios anteriores pueden ex-
tenderse al caso de funciones dependientes de cualquier n´umero finito de
variables. Para mayor informaci´on sobre estos resultados, v´ease [9], [14],
o [15].

F´ormula recursiva para los momentos en la familia

exponencial

En esta secci´on se presenta una f´ormula recursiva para el n-´esimo momento
de ciertas distribuciones dentro de la familia exponencial, la cual fue definida
en la secci´on 2.19. Esta subfamilia de distribuciones corresponde al caso
particular cuando dpxq“ x en la expresi´on general (2.18). Adicionalmente,
y sin p´erdida de generalidad, se escribe ln cpθq en lugar de la funci´on cpθq.
Esto da lugar a la siguiente expresi´on para la funci´on de densidad

x
fpx, θq“ apθq bpxqpcpθqq , ´8 ă x ă 8. (4)

Aqu´ıtenemosunaf´ormula recursiva general para los momentos de este tipo
de distribuciones.

Proposici´on .2 Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad tipo
exponencial de la forma (4). El n-´esimo momento de X existe y satisface la
ecuaci´on
ˆ ˙
1 d
n cpθq a pθq n´1
EpX q“ ´ ` EpX q. (5)
1
c pθq apθq dθ