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320 Ap´ endice A

Sea A “pa q una matriz de n ˆ n ysea k un entero tal que 1 ď k ď n.El
ij
menor principal de orden k se define como el determinante de la submatriz

cuadrada pa q, i, j “ 1,...,k,estoes,
ij
a 11 “ Primer menor principal pk “ 1q,
ˇ ˇ
a a
ˇ 11 12 ˇ
ˇ ˇ “ Segundo menor principal pk “ 2q,
a a
ˇ 21 22 ˇ
. . .

|A|“ n-´esimo menor principal pk “ nq.

Por otro lado, para la funci´on fpx, yq considerada antes, se define la matriz
hessiana como la matriz sim´etrica

¨ ˛
2
2
B f B f
px, yq px, yq
Bx ByBx
˚ 2 ‹
˚ ‹ (3)
Hpx, yq“ ˚ ‹ .
2
2
B f B f
˝ ‚
px, yq px, yq
BxBy By 2
‚ Condiciones para un m´aximo. La funci´on fpx, yq tiene un m´aximo
en px ,y q si la matriz Hpx ,y q es tal que
0
0
0
0
a) todos sus menores principales de orden impar son negativos y
b) todos sus menores principales de orden par son positivos.
Para la matriz (3) esto se reduce a las desigualdades

2
B f
px ,y q ă 0 y |Hpx ,y q| ą 0.
0
0
0
0
Bx 2
Estas condiciones son equivalentes a solicitar que la matriz Hpx ,y q
0
0
sea negativa definida. Ello significa que se deben cumplir las siguientes
dos condiciones:
` ˘
x 2
a) px, yqHpx ,y q y ď 0paratodo px, yqP R .
0
0
` ˘
x
b) px, yqHpx ,y q y “ 0 ô px, yq“p0, 0q.
0
0
‚ Condiciones para un m´ınimo. La funci´on fpx, yq tiene un m´ınimo
en px ,y q si la matriz Hpx ,y q es tal que
0
0
0
0