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304 4. Pruebas de hip´ otesis

C C 1

R n

Figura 4.14

Por definici´on tenemos que

β 1 “ PppX ,...,X qR C | θ “ θ q
1
1
1
n
ż
n
“ 1 ´ Lpx , θ q dx n
1
C 1
„ż ż  ż
n n n n n n
“ Lpx , θ q dx ` Lpx , θ q dx ´ Lpx , θ q dx
1
1
1
C C c C 1
„ż ż  ż
n n n n n n
“ Lpx , θ q dx ´ Lpx , θ q dx ` Lpx , θ q dx
1
1
1
C C 1 C c
„ż ż  ż
n n n n n n
“ Lpx , θ q dx ´ Lpx , θ q dx ` Lpx , θ q dx .
1
1
1
1
C ´C 1 C ´C C c
n
Como la primera integral se calcula para valores x dentro de la regi´on de
rechazo C yla segunda secalcula fuera deesta regi´on de rechazo, tenemos
que
„ż ż  ż
n
n
n
n
β 1 ě c Lpx , θ q dx ´ Lpx , θ q dx n ` Lpx , θ q dx n
1
0
0
1
C ´C 1 C ´C C c
„ż ż  ż
n
n
n
n
“ c Lpx , θ q dx ´ Lpx , θ q dx n ` Lpx , θ q dx n
1
0
0
C C 1 C c
ż
n
“ Lpx , θ q dx n
1
C c
“ β.