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4.6 Lema de Neyman-Person 305

Las dos integrales que aparecen dentro del ´ultimo par´entesis son iguales a
α, pues, por hip´otesis, tanto C como C son regiones de rechazo de tama˜no
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α. ‚

Observaciones:

‚ El lema de Neyman-Pearson es v´alido tanto para distribuciones discre-
tas como continuas. Sin embargo, en el caso discreto podr´ıa presentarse
la situaci´on de no existencia de regiones de rechazo de tama˜no exac-
tamente un valor particular de α.En tales casos se buscan posibles
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regiones de rechazo de tama˜no α cercano a α con α ď α.
‚ El par´ametro θ en el enunciado del lema de Neyman-Pearson puede
ser un vector de par´ametros. En este caso, las regiones de rechazo
pueden ser m´as dif´ıciles de identificar y las probabilidades de error
pueden presentar mayor dificultad en su c´alculo.

‚ Durante la prueba del lema de Neyman-Pearson no se hace distinci´on
entre los casos: θ ă θ ´o θ ă θ , de modo que la regi´on de rechazo
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m´as potente (4.2) es la misma en ambas situaciones.
Veamos ahora algunos ejemplos del uso del resultado de Neyman y Pearson.

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Ejemplo 4.3 Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Npθ, σ q,en
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donde θ es desconocido pero σ es conocida. Supongamos que deseamos
tomar una decisi´on respecto del par´ametro desconocido θ de acuerdo al
siguiente contraste de hip´otesis simples

H : θ “ θ 0 vs H : θ “ θ .
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Supondremos que los valores θ y θ son fijos, conocidos y, sin p´erdida de
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generalidad, consideraremos que guardan la relaci´on θ ă θ . Con base en
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una muestra aleatoria X ,...,X de esta distribuci´on y usando el lema de
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n
Neyman-Pearson, encontraremos la regi´on de rechazo ´optima de tama˜no α.
Tenemos que la funci´on de verosimilitud es
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Lpx , θq“ exp p´ px ´ θq q.
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