Page 309 - EI2019.pdf

4.5 Algunas pruebas sobre la distribuci´ on normal 301

2
en donde χ 2 es el n´umero real tal que la distribuci´on χ pn ´ 1q
1´α
acumula a la derecha probabilidad 1 ´ α.As´ı, la regi´on de rechazo se
puede identificar como la cola de la izquierda de ´area α de la distribu-
2
ci´on χ pn´1q. Esta es, por lo tanto, una regi´on de rechazo de tama˜no
2
2
α. Para cualquier valor positivo σ menor a σ ,la probabilidad deno
1 0
2
rechazar H cuando el valor de la varianza es σ es
0
1
2 2 2
βpσ q“ Pp “No rechazar H ” | σ “ σ q
0
1 1
pn ´ 1qS 2
2
2
“ Pp ą χ 2 | σ “ σ q
1´α
1
σ 2
0
pn ´ 1qS 2 σ 2
2
2
“ Pp ą χ 2 ¨ 0 | σ “ σ q
1´α
1
σ 2 σ 2
1 1
2
2
“ 1 ´ Fpχ 2 ¨ σ {σ q,
1
0
1´α
2
en donde F es la funci´on de distribuci´on χ pn ´ 1q.
‚ Prueba de cola derecha. Y finalmente para la prueba con hip´otesis
2
2
alternativa H : σ ą σ se propone como regi´on de rechazo
1
0
2
2
C “tpx ,...,x q : χ ą χ u,
n
1
α
0
2
2
en donde χ es el n´umero real tal que la distribuci´on χ pn ´ 1q acu-
α
mula a la derecha probabilidad α.As´ı, la regi´on de rechazo se puede
identificar como la cola de la derecha de ´area α de la distribuci´on
2
χ pn ´ 1q. Esta es, por lo tanto, una regi´on de rechazo de tama˜no α.
2
2
Para cualquier valor σ mayor a σ ,la probabilidad denorechazar
1 0
2
H cuando el valor de la varianza es σ es
0
1
2 2 2
βpσ q“ Pp “No rechazar H ” | σ “ σ q
0
1 1
pn ´ 1qS 2 2 2 2
“ Pp ă χ | σ “ σ q
1
α
σ 2
0
pn ´ 1qS 2 σ 2
2
2
2
“ Pp ă χ ¨ 0 | σ “ σ q
1
α
σ 2 σ 2
1 1
2
2
2
“ Fpχ ¨ σ {σ q,
0
1
α
2
en donde F es la funci´on de distribuci´on χ pn ´ 1q.