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302 4. Pruebas de hip´ otesis

Ejercicios

283. En ciertas zonas de la ciudad y durante varios a˜nos se ha calculado
el pago por el consumo de agua suponiendo un consumo promedio de
20,000 litros mensuales en cada casa. Para determinar si tal cantidad

ha cambiado, se han medido los consumos mensuales de 15 casas es-
cogidas al azar, obteni´endose los siguientes resultados: 23456, 18325,
21982, 22371, 13292, 25073, 22601, 20930, 18788, 19162, 21442, 23935,
20320, 19095, 17421. ¿Debe cambiar el consumo promedio mensual
estimado para el c´alculo de los pagos o permanecer igual? Suponga
σ “ 2000.

284. En una muestra aleatoria, el tiempo promedio en el que 50 mujeres
terminaron una prueba escrita fue de 30 minutos, mientras que 45
hombres terminaron la prueba en un promedio de 35 minutos. Para
fines ilustrativos supondremos una varianza de 9 unidades en ambas
poblaciones. ¿Hay alguna diferencia entre hombres y mujeres en el
tiempo promedio real para concluir la prueba?

4.6. Lema de Neyman-Pearson

Consideremos una distribuci´on de probabilidad dependiente de un par´ame-
tro desconocido θ.Nos interesa llevar a cabo el contrastededos hip´otesis
simples

H : θ “ θ 0 vs H : θ “ θ ,
1
1
0
en donde θ y θ son dos posibles valores distintos del par´ametro θ, los
1
0
cuales supondremos fijos y conocidos. En esta situaci´on, a la probabilidad
complementaria del error tipo II, esto es, al n´umero 1 ´ β le hemos llamado
potencia de la prueba. Considerando todas las posibles regiones de rechazo
de tama˜no α, a aquella que tenga potencia mayor se le llama prueba m´as
potente.

El siguiente resultado, llamado lema de Neyman-Pearson, resuelve el proble-
ma de encontrar la regi´on de rechazo m´as potente para la prueba indicada,
es decir, proporciona la regi´on de rechazo con probabilidad de error tipo II
m´as peque˜na.