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306 4. Pruebas de hip´ otesis

Por lo tanto, el cociente de verosimilitudes (4.2) es

˜ ¸
n n
Lpx , θ q 1 ÿ 2 2
1
“ exp ´ rpx ´ θ q ´px ´ θ q s
0
i
i
1
n 2
0
Lpx , θ q 2σ
i“1
ˆ ˙
1 “ 2 2 ‰
“ exp ´ npθ ´ θ q´ 2n¯xpθ ´ θ q .
1
0
1
0
2σ 2
Despu´es de algunos c´alculos puede comprobarse que la condici´on de que la
expresi´on anterior sea mayor o igual a una constante c es equivalente a la
condici´on ¯x ě c, para alguna otra constante c alaque denotaremos por la
misma letra. Aqu´ıse usa el supuesto de que θ ă θ . La regi´on de rechazo
0
1
m´as potente es entonces
C “tpx ,...,x q :¯x ě c u.
n
1
Para especificar de manera completa a este conjunto, resta encontrar el valor
de la constante c que hace que esta regi´on de rechazo sea de tama˜no α,es
decir, c debe ser tal que
¯
α “ PpX ě c | θ “ θ q
0
¯
X ´ θ 0 c ´ θ 0
“ Pp ? ě ? | θ “ θ q
0
σ{ n σ{ n
c ´ θ 0
“ 1 ´ Φp ? q.
σ{ n

De donde se obtiene que
σ
c “ θ ` ? Φ ´1 p1 ´ αq.
0
n

Este es el valor de la constante c que hace que la probabilidad del error tipo
I sea igual a α.Por otro lado, la probabilidad del error tipo II es

¯
β “ PpX ă c | θ “ θ q
1
c ´ θ 1
“ Φp ? q
σ{ n
θ ´ θ 1 ´1
0
“ Φp ? ` Φ p1 ´ αqq.
σ{ n

‚