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4.6 Lema de Neyman-Person 307

Ejemplo 4.4 Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Poissonpθq,en
donde el par´ametro θ ą 0es desconocido. Nosinteresaestimarelvalor de

θ mediante el contraste de hip´otesis simples

H : θ “ θ 0 vs H : θ “ θ ,
1
0
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en donde 0 ă θ ă θ son dos valores fijos y conocidos. Usaremos el lema
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0
de Neyman-Pearson para encontrar la regi´on de rechazo de tama˜no α m´as
potente. Tenemos que el cociente de verosimilitudes (4.2) es

n ´θ 1 x 1 ´θ 1 x n
Lpx , θ q e θ {x ! ¨¨¨ e θ {x !
1
1
n
1
1
“
n ´θ 0 x 1 ´θ 0 x n
Lpx , θ q e θ {x ! ¨¨¨ e θ {x !
0
n
1
0
0
n¯x
“ e ´npθ 1 ´θ 0 q pθ {θ q .
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0
Despu´es de algunos c´alculos puede comprobarse que la condici´on de que la
expresi´on anterior sea mayor o igual a una constante c es equivalente a la
condici´on x `¨ ¨ ¨` x ě c,paraalgunaotraconstante c que hemos escrito
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n
bajo el mismo nombre. Aqu´ı se ha usado la hip´otesis de que θ ă θ . La
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regi´on de rechazo ´optima es entonces
C “tpx ,...,x q : x `¨ ¨ ¨ ` x ě c u,
n
n
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en donde la constante c es tal que la probabilidad de cometer el error tipo
Ies α,es decir, c es tal que
α “ PpX `¨ ¨ ¨` X ě c | θ “ θ q,
n
1
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en donde, bajo la hip´otesis θ “ θ ,lavariable X `¨ ¨ ¨`X tiene distribuci´on
1
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n
Poissonpnθ q.Observe que, como X `¨ ¨ ¨` X es una variable aleatoria
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n
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discreta, es posible que la identidad anterior no se cumpla de manera exacta,
de modo que se toma el valor entero c m´as peque˜no tal que
PpX `¨ ¨ ¨ ` X ě cq ď α.
1
n
La probabilidad de cometer el error tipo II es
β “ PpX `¨ ¨ ¨ ` X ă c | θ “ θ q,
n
1
1
en donde, bajo la hip´otesis θ “ θ ,la variable X `¨ ¨ ¨ ` X tiene ahora
n
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distribuci´on Poissonpnθ q. ‚
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