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4.6 Lema de Neyman-Person 303

1
Proposici´on 4.1 (Lema de Neyman-Pearson ) La regi´on de recha-
zo de tama˜no α m´as potente para el contraste de dos hip´otesis simples

H : θ “ θ 0 vs H : θ “ θ ,
1
1
0
est´adada por

Lpx ,...,x , θ q
1
1
n
C “tpx ,...,x q : ě cu, (4.2)
1
n
Lpx ,...,x , θ q
0
n
1
en donde Lpx ,...,x ; θq es la funci´on de verosimilitud de una muestra
1
n
aleatoria y c es una constante que hace que esta regi´on de rechazo sea
de tama˜no α.
Demostraci´on. Por brevedad en la escritura, consideraremos ´unicamente
n
el caso continuo y escribiremos x en lugar del vector px ,...,x q.Consi-
n
1
derando la regi´on de rechazo C definida en el enunciado y observando que
n
la funci´on de verosimilitud Lpx , θq es la funci´on de densidad del vector de
n
la muestra aleatoria evaluada en el punto x ,lasprobabilidadesde cometer
los errores tipo I y II son:

ż
n
n
0
1
0
α “ PppX ,...,X qP C | θ “ θ q“ Lpx , θ q dx ,
n
C
ż
c n n
β “ PppX ,...,X qP C | θ “ θ q“ Lpx , θ q dx .
n
1
1
1
C c
Sea C cualquier otra regi´on de rechazo de tama˜no α ysea β la correspon-
1
1
diente probabilidad de cometer el error tipo II. En la Figura 4.14 se ilustra
gr´aficamente la situaci´on general de estos dos conjuntos. Demostraremos
que β ě β.
1

1 Jerzy Neyman (1894-1981), matem´atico y estad´ıstico polaco.
1
Egon Sharpe Pearson (1895–1980), estad´ıstico ingl´es. Hijo de Karl Pearson.