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4.5 Algunas pruebas sobre la distribuci´ on normal 299

de rechazo sea de tama˜no α es z .As´ı, la regi´on de rechazo propuesta
α
es

C “tpx ,...,x q : Z ě z u.
α
0
n
1
Respecto del error tipo II, para un valor δ mayor a δ,la probabilidad
1
de no rechazar H dado que θ ´ θ “ δ es
1
Y
0
X
βpδ q“ Pp Z ă z | θ ´ θ “ δ q
0
X
α
1
1
Y
δ ´ δ 1
α
“ Φpz ` b q.
σ 2 σ 2
X ` Y
n m
Pruebas para la varianza
Consideremos nuevamente una muestra aleatoria X ,...,X proveniente de
1
n
2
n observaciones de una variable aleatoria con distribuci´on Npµ, σ q, con am-
bos par´ametros desconocidos. Nos interesa ahora encontrar un mecanismo
2
2
para probar la hip´otesis nula H : σ “ σ contra alguna hip´otesis alterna-
0
0
tiva. Un manera de encontrar una regla de decisi´on para estas pruebas hace
uso del resultado te´orico que establece que
pn ´ 1qS 2
2 2
χ :“ „ χ pn ´ 1q,
0
σ 2
0
2
2
cuando la varianza desconocida σ es, efectivamente, σ . Como antes, el
0
2
t´ermino S denota la varianza muestral. Por otro lado, recordemos que la
2
esperanza de una variable aleatoria con distribuci´on χ pn´1q es el par´ame-
2
tro n´1, y por lo tanto, Epχ q“ n´1. De esta manera se propone rechazar
0
2
la hip´otesis H cuando la variable aleatoria χ tome un valor lejano de su
0
0
valor central n ´ 1.
2
2
2
2
‚ Prueba de dos colas. Para la prueba H : σ “ σ vs H : σ ‰ σ ,
1
0
0
0
2
se propone rechazar H cuando la variable χ est´a alejada de su valor
0
0
central tomando un valor en una de las dos colas de su distribuci´on.
Estas dos colas se establecen en la siguiente regi´on de rechazo, la cual
tiene tama˜no α:
2
2
C “tpx ,...,x q : χ ă χ 2 ´ o χ ą χ 2 u,
1
n
0
0
1´α{2
α{2
2
en donde χ 2 es el n´umero real tal que la distribuci´on χ pn ´ 1q
α{2
acumula a la derecha probabilidad α{2. An´alogamente, la probabilidad