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298 4. Pruebas de hip´ otesis

constante c.Enunatablade la distribuci´on normal est´andar podemos

encontrar un valor z α{2 tal que Pp|Z| ě z α{2 q“ α,en donde α es valor
preestablecido para la probabilidad del error tipo I. Este valor z α{2 es
la constante c buscada y con ello se logra que la regi´on de rechazo sea
de tama˜no α.
C “tpx ,...,x q : |Z | ě z α{2 u.
0
n
1
Respecto del error tipo II, para un valor δ distinto de δ,esinmediato
1
comprobar que la probabilidad de no rechazar la hip´otesis nula dado
que θ ´ θ “ δ es
1
X
Y
βpδ q“ Pp|Z | ă z α{2 | θ ´ θ “ δ q
1
Y
0
1
X
δ ´ δ 1 δ ´ δ 1
“ Φpz α{2 ` b q´ Φp´z α{2 ` b q.
σ 2 σ 2 σ 2 σ 2
X ` Y X ` Y
n m n m
‚ Prueba de cola izquierda. Consideremos ahora como hip´otesis al-
ternativa
H : θ ´ θ ă δ,
Y
X
1
Siguiendo el mismo razonamiento que antes, ahora rechazamos H 0
cuando la estad´ıstica Z toma un valor menor a una cierta constante.
0
El valor de esta constante que hace que la regi´on de rechazo sea de
tama˜no α es ´z .As´ı, la regi´on de rechazo propuesta es
α

C “tpx ,...,x q : Z ď ´z u.
n
0
1
α
Respecto del error tipo II, para un valor δ menor a δ,la probabilidad
1
de no rechazar H dado que θ ´ θ “ δ es
0
Y
1
X
βpδ q“ Pp Z ą ´z | θ ´ θ “ δ q
1
Y
1
X
0
α
δ ´ δ 1
α
“ 1 ´ Φp´z ` b 2 2 q.
σ σ
X ` Y
n m
‚ Prueba de cola derecha. Finalmente consideremos como hip´otesis
alternativa
H : θ ´ θ ą δ.
Y
1
X
Ahora rechazamos H cuando la estad´ıstica Z toma un valor mayor a
0
0
una cierta constante. El valor de esta constante que hace que la regi´on