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4.5 Algunas pruebas sobre la distribuci´ on normal 297

Supondremos que las medias θ X y θ son desconocidas y que las varianzas
Y
σ 2 y σ 2 son conocidas y pueden ser diferentes. Observe que el tama˜no de
X Y
las muestras puede ser distinto. En esta secci´on encontraremos un criterio
para probar la hip´otesis simple

H : θ ´ θ “ δ,
Y
0
X
contra alguna hip´otesis alternativa, en donde δ es una constante. Mediante
estas pruebas se puede decidir si las medias de las dos poblaciones normales
difieren en la constante δ oenunacantidad diferente. Elprocedimientoes
muy similar a las pruebas presentadas antes sobre la media desconocida de
una distribuci´on normal con varianza conocida.

¯
¯
¯
Sean X y Y las correspondientes medias muestrales. Sabemos que X tiene
¯
2
2
distribuci´on Npθ , σ {nq y Y tiene distribuci´on Npθ , σ {mq.Entonces
Y
X
Y
X
2
¯
¯
Y
X ´ Y „ Npθ ´ θ , σ X ` σ 2 q.
X
Y
n m
Este es el resultado que nos llevar´aa encontrar una regla para decidir cu´ando
rechazar H en favor de alguna hip´otesis alternativa, con base en los datos
0
de las muestras aleatorias.
‚ Prueba de dos colas. Consideraremos primero el caso cuando la
hip´otesis alternativa es
H : θ ´ θ ‰ δ.
Y
1
X
¯
¯
Cuando H es cierta, esto es, cuando θ ´θ “ δ,tenemos que X ´Y
X
Y
0
2
2
tiene distribuci´on Npδ, σ {n ` σ {mq, y por lo tanto,
X Y
¯
¯
X ´ Y ´ δ
0
Z :“ b „ Np0, 1q.
σ 2 σ 2
X ` Y
n m
La estad´ıstica Z es nuevamente una medida de la distancia entre la
0
¯
¯
diferencia X ´ Y y δ.Es entonces razonablerechazar H cuando la
0
variable Z sea grande en valor absoluto. Es por ello que tomamos
0
como criterio de decisi´on rechazar H cuando |Z | ě c,para cierta
0
0