Page 31 - EI2019.pdf

1.2 Descripciones num´ ericas 23

22. Sea ¯x la media de x ,...,x ysea ¯y la media de y ,...,y .Demuestre
1
1
n
m
que la media de los datos conjuntos x ,...,x ,y ,...,y m es
1
n
1
n m
¯ x ` ¯ y.
n ` m n ` m
23. Sea x ,...,x un conjunto de datos num´ericos con media ¯x ‰ 0, y sea
1
n
¯ y la media de los n´umeros y “ x {¯x,para i “ 1,...,n.Demuestre que
i
i
¯ y “ 1.

24. Media geom´etrica.Paraun conjunto de datos num´ericos x ,...,x ,
1
n
en donde cada uno de ellos es estrictamente positivo, se define la media
geom´etrica como la ra´ız n-´esima del producto de todos estos n´umeros,
es decir,
?
n
mgpxq“ x ¨¨¨ x .
n
1
Demuestre las siguientes afirmaciones:

n
1 ÿ
a) logpmgpxqq “ log x .
i
n
i“1
b)Si a ą 0esuna constante y ax denota el conjunto de n´umeros
ax ,...,ax ,entonces
1
n
mgpaxq“ a ¨ mgpxq.

c)Si y denota la colecci´on de n´umeros y ,...,y , todos ellos estric-
1
n
tamente positivos, y x{y denota la colecci´on x {y ,...,x {y ,
n
n
1
1
entonces
mgpxq
mgpx{yq“ .
mgpyq
d)La media geom´etrica es siempre menor o igual a la media aritm´eti-
ca, es decir, mgpxq ď ¯x,om´as expl´ıcitamente,

? x `¨ ¨ ¨ ` x n
1
n
1
x ¨¨¨ x ď .
n
n