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4.5 Algunas pruebas sobre la distribuci´ on normal 293

Pruebas para la media con varianza desconocida

Consideremos nuevamente una muestra aleatoria X ,...,X de la distribu-
1
n
ci´on normal con media desconocida θ,pero ahora con varianza desconocida
2
σ . Nos interesa encontrar una regla de decisi´on para llevar a cabo ciertas
pruebas de hip´otesis sobre el valor desconocido del par´ametro θ.El procedi-
2
miento es muy similar al caso cuando σ es conocida y el resultado te´orico
que es de utilidad aqu´ıesque

¯
X ´ θ
? „ tpn ´ 1q,
S{ n

en donde S es la varianza muestral. Como en el caso anterior, las pruebas

que consideraremos hacen referencia a un valor particular θ del par´ametro
0
desconocido θ.

‚ Prueba de dos colas. Consideremos la prueba

H : θ “ θ 0 vs H : θ ‰ θ .
0
0
1

Es razonable rechazar H cuando la diferencia entre la media muestral
0
¯
¯
X yel valor θ es grande, es decir, cuando |X ´ θ | ě c,para alguna
0
0
constante c.As´ı, es de utilidad saber que
¯
X ´ θ 0
T “ ? „ tpn ´ 1q,
0
S{ n

¯
pues esta variable aleatoria es una medida de la distancia entre X y
θ .Adem´as, si t α{2,n´1 denota el n´umero real tal que el ´area bajo la
0
funci´on de densidad de la distribuci´on tpn ´ 1q ala derechade ese
valor es α{2, entonces una regi´on de rechazo de tama˜no α para esta
prueba es

¯ x ´ θ 0
C “tpx ,...,x q : | ? | ě t α{2,n´1 u.
1
n
s{ n