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4.5 Algunas pruebas sobre la distribuci´ on normal 289

Pruebas para la media con varianza conocida

2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q,endonde
1
n
2
la media θ es desconocida y consideremos que σ es conocida. Entonces la
¯
2
media muestral X tiene distribuci´on Npθ, σ {nq.Porlo tanto,
¯
X ´ θ
? „ Np0, 1q.
σ{ n

Las pruebas que consideraremos hacen referencia a un valor particular θ 0
del par´ametro desconocido θ.

‚ Prueba de dos colas. Deseamos contrastar las hip´otesis

H : θ “ θ 0 vs H : θ ‰ θ .
0
0
1

El problema es encontrar una regla para decidir cu´ando rechazar H 0
en favor de H , con base en los datos de la muestra aleatoria. Cuando
1
¯
H es cierta, esto es, cuando θ es efectivamente θ , tenemos que X „
0
0
2
Npθ , σ {nq, y por lo tanto,
0
¯
X ´ θ 0
Z “ ? „ Np0, 1q.
0
σ{ n

¯
La estad´ıstica Z es claramente una medida de la distancia entre X
0
(un estimador de θ), y su valor esperado θ cuando H es cierta. Es
0
0
entonces razonable rechazar H cuando la variable Z sea grande. Es-
0
0
ta es la raz´on por la que tomamos como criterio de decisi´on rechazar
H cuando |Z | ě c,paraunacierta constante c.¿C´omo encontramos
0
0
el n´umero c? En una tabla de la distribuci´on normal podemos encon-
trar un valor z α{2 tal que Pp|Z| ě z α{2 q“ α, para una valor de α
preestablecido. V´ease la Figura 4.9. Este valor z α{2 es precisamente la
constante c buscada pues con ello se logra que la regi´on de rechazo sea
de tama˜no α.