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284 4. Pruebas de hip´ otesis

est´a equilibrada. Es por ello que se propone rechazar la hip´otesis H cuando
0
¯
| X ´ 1{2 | ě c, para alg´un n´umero c que encontraremos m´as adelante, y
esto lo haremos estableciendo un valor particular para la probabilidad del
error tipo I. Es decir, se propone como regi´on de rechazo al conjunto

C “tpx ,...,x q : |¯x ´ 1{2| ě cu. (4.1)
n
1
En el caso cuando H es cierta, pero se toma la decisi´on de rechazar H ,
0
0
se est´a en la situaci´on de cometer el error tipo I, y establecemos que la
probabilidad de que ello ocurra es α,es decir,

¯
Pp| X ´ 1{2 | ě c | θ “ 1{2q“ α.
A partir de esta ecuaci´on se puede encontrar el valor de c de la siguien-
te manera: cuando H es verdadera, es decir, cuando θ “ 1{2, la media
0
muestral tiene distribuci´on aproximada normal de media 1{2 y varianza
p1{2qp1 ´ 1{2q{n “ 1{p4nq,yporlo tanto, demanera aproximada,

¯
X ´ 1{2
? „ Np0, 1q.
1{p2 nq
En consecuencia,

¯
α “ Pp| X ´ 1{2 | ě c | θ “ 1{2q
¯
“ 1 ´ Pp| X ´ 1{2 | ă c | θ “ 1{2q
¯
“ 1 ´ Pp´c ă X ´ 1{2 ă c | θ “ 1{2q
¯
´c X ´ 1{2 c
“ 1 ´ Pp ? ă ? ă ? | θ “ 1{2q
1{p2 nq 1{p2 nq 1{p2 nq
c
« 2p1 ´ Φp ? qq.
1{p2 nq

De donde se obtiene que

1
c « ? Φ ´1 p1 ´ α{2q.
2 n

As´ı, dado un valor para el tama˜no de muestra n yunvalorconvenidopara
α,este es el valor dela constante c que hace que la regi´on de rechazo (4.1)