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280 4. Pruebas de hip´ otesis

Teniendo definida esta regi´on de rechazo, podemos ahora calcular de manera
aproximada las probabilidades de los errores tipo I y II, y m´as generalmente

la funci´on potencia de la siguiente forma: por el teorema central del l´ımite,

¯
α “ PpX ě pθ ` θ q{2 | θ “ θ q
1
0
0
¯
X ´ θ 0 pθ ´ θ q{2
0
1
0
“ Ppa ě a | θ “ θ q
θ p1 ´ θ q{n θ p1 ´ θ q{n
0
0
0
0
pθ ´ θ q{2
1
0
« 1 ´ Φpa q .
θ p1 ´ θ q{n
0
0
¯
1
1
β “ PpX ă pθ ` θ q{2 | θ “ θ q
0
¯
X ´ θ 1 pθ ´ θ q{2
0
1
1
“ Ppa ă a | θ “ θ q
θ p1 ´ θ q{n θ p1 ´ θ q{n
1
1
1
1
pθ ´ θ q{2
0
1
« Φpa q .
θ p1 ´ θ q{n
1
1
Recordemos que los valores de θ , θ y n son conocidos y, por lo tanto, las
1
0
cantidades anteriores pueden calcularse expl´ıcitamente. Usando nuevamente
el teorema central del l´ımite, la funci´on potencia se puede aproximar de la
siguiente manera: para θ Pp0, 1q,
¯
1
πpθq“ PpX ě pθ ` θ q{2 | θq
0
pθ ` θ q{2 ´ θ
1
0
« 1 ´ Φp a q.
θp1 ´ θq{n
Haciendo un an´alisis cualitativo del comportamiento de esta funci´on para
valores de θ cercanos a cero y a uno, se puede comprobar que la gr´afica de
esta funci´on es la curva creciente que se muestra en la Figura 4.3.