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4.4 Ejemplo de una prueba param´ etrica 283

Figura 4.4

Por ejemplo, si de cien lanzamientos se obtienen cincuenta cruces, enton-
ces uno tiende a pensar que esto puede ser una evidencia para creer que

la moneda est´aequilibrada, aunque debe tenerse presente que tal resultado
puede tambi´en obtenerse con una moneda no equilibrada. Pero, ¿qu´e deci-
si´on tomar si ´unicamente se obtienen 45 cruces? ¿y si se obtienen 60 cruces?
Es claro que en estos ´ultimos casos la decisi´on no es tan evidente. Vamos a
plantear y resolver este problema de decisi´on a trav´es del contraste de dos
hip´otesis.

Denotemos por X ,...,X los resultados de n lanzamientos de la moneda.
1
n
Convengamos en definir

#
1si la moneda cae cruz,
X “
i
0si la moneda cae cara.

Es decir, cada una de estas variables tiene distribuci´on Bernoulli de par´ame-
tro θ,en donde estepar´ametro es la probabilidad desconocida de obtener
cruz en cada lanzamiento. Supondremos la hip´otesis de independencia para
esta colecci´on de variables aleatorias. El problema planteado se formaliza y
se traduce en llevar a cabo la prueba de hip´otesis

H : θ “ 1{2 vs H : θ ‰ 1{2.
0
1
Estamos ante una situaci´on de una hip´otesis simple contra una hip´otesis

compuesta. Construiremos a continuaci´on una regi´on de rechazo para esta
¯
prueba. Por la ley de los grandes n´umeros, la media muestral X se acerca
al verdadero valor de θ cuando el n´umero de lanzamientos es cada vez m´as
grande, y por lo tanto, es una aproximaci´on para el valor desconocido de
¯
θ.Cuando X diste mucho de 1{2esrazonablepensarquela monedano