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3.5 Distribuci´ on normal 261

Proposici´on 3.10 Un intervalo de confianza para la varianza descono-
2
cida θ de una distribuci´on normal est´adadopor

pn ´ 1qS 2 2 pn ´ 1qS 2
Pp ă θ ă q“ 1 ´ α. (3.5)
χ 2 χ 2
α{2 1´α{2

De este resultado puede derivarse un intervalo de confianza para la desvia-

ci´on est´andar θ.Por simplicidad hemos escrito χ 2 ,laexpresi´on completa,
α{2
incluyendo los grados de libertad, debe ser χ 2 .An´alogamente para
α{2,n´1
χ 2 .
1´α{2,n´1

Intervalo para la diferencia de dos medias
cuando las varianzas son conocidas

2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on Npθ , σ q ysea
1
n
1
1
Y ,...,Y m otra muestra aleatoria, independiente de la primera, de una dis-
1
2
tribuci´on Npθ , σ q.Consideraremos que las medias θ y θ son desconocidas
2
2
1
2
ydeseamos encontrar unintervalo deconfianzapara la diferencia θ ´θ .En
1
2
2
2
esta secci´on consideraremos el caso cuando las varianzas σ y σ son conoci-
1
2
¯
¯
2
2
das pero pueden ser diferentes. Como X „ Npθ , σ {nq y Y „ Npθ , σ {mq,
1
2
2
1
tenemos que
¯ ¯
1
pX ´ Y q´pθ ´ θ q
2
a „ Np0, 1q.
2
2
σ {n ` σ {m
1 2
Puede entonces encontrarse un valor z α{2 de la distribuci´on normal est´andar
tal que
¯ ¯
pX ´ Y q´pθ ´ θ q
2
1
Pp´z α{2 ă a ă z α{2 q“ 1 ´ α.
2
2
σ {n ` σ {m
1 2
En este caso, el intervalo sim´etrico indicado es el de longitud m´ınima que
satisface la condici´on anterior. De aqu´ıse puede obtener el intervalode
confianza buscado.