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258 3. Estimaci´ on por intervalos

Proposici´on 3.8 Un intervalo de confianza para la media θ de una
2
distribuci´on normal con varianza conocida σ est´adado por
σ σ
¯
¯
Pp X ´ z α{2 ? ă θ ă X ` z α{2 ? q“ 1 ´ α. (3.3)
n n

Observe que la longitud del intervalo de confianza encontrado es no aleatorio
?
L “ 2z α{2 ¨ σ{ n. De aqu´ı pueden obtenerse varias observaciones:

‚ La longitud del intervalo decrece conforme el tama˜no de la muestra
crece, es decir, mientras mayor informaci´on se tenga m´as preciso es
el intervalo. En el l´ımite cuando n Ñ8, el intervalo se colapsa en el
¯
estimador puntual X.

‚ Si la confianza requerida crece, es decir, si 1 ´ α aumenta, entonces
z α{2 crece, v´ease la Figura 3.5, y por lo tanto la longitud del intervalo
tambi´en crece.

‚ Si la dispersi´on de los datos es alta, es decir, si la desviaci´on est´andar
σ es grande, entonces la longitud del intervalo tiende a ser grande.

Intervalo para la media cuando la varianza es desconocida

Consideremos nuevamente una distribuci´on normal con media desconocida
θ pero ahora con varianza desconocida. El resultado te´orico que utilizaremos
es el siguiente:
¯
X ´ θ
? „ tpn ´ 1q.
S{ n

Observe que esta es la distribuci´on exacta de esta variable aleatoria, sin
importar el tama˜no n ě 2 de la muestra y sobre todo, sin suponer que la
varianza es conocida. A partir de lo anterior podemos construir un intervalo
de confianza para el par´ametro θ de forma an´aloga al caso normal mencio-
nado antes. Para cualquier valor de α Pp0, 1q podemos encontrar un valor