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3.7 Intervalos conjuntos para dos par´ ametros 265

As´ı, la confianza conjunta es por lo menos 1 ´pα ` α q.Si se desea que
2
1
este valor sea 1 ´ α,entonces puede solicitarse inicialmente que α “ α{2
1
y α “ α{2. Esto significa que se necesita una confianza mayor para cada
2
intervalo de manera individual para garantizar una confianza igual a 1 ´ α
para el intervalo conjunto.

2
Ejemplo 3.1 Consideremos una distribuci´on Npµ, σ q, con ambos par´ame-
tros desconocidos. En esta situaci´on, anteriormente hemos encontrado los
siguientes intervalos de confianza individuales con confianza 1´α y1´α ,
2
1
respectivamente, para estos par´ametros:

S
S
¯
¯
I 1 “pX ´ t ? , X ` t ? q,
α 1 {2
n α 1 {2 n
pn ´ 1qS 2 pn ´ 1qS 2
I 2 “p , q.
χ 2 χ 2
α 2 {2 1´α 2 {2
2
Tomando α “ α “ α{2, tenemos que Ppµ P I , σ P I q ě 1 ´ α. ‚
1
2
2
1
La confianza conjunta para n intervalos de confianza puede acotarse por
abajo usando la siguiente f´ormula general para n eventos, la cual generaliza
al caso n “ 2 mencionado antes.
n
ÿ c
PpA X¨ ¨ ¨ X A q ě 1 ´ PpA q.
n
1
i
i“1
Ejercicios

271. Sea X una muestra aleatoria de tama˜no n “ 1de ladistribuci´on
1
fpx, θq especificada abajo, en donde θ ą 0esdesconocido. Conside-
rando la cantidad pivotal X {θ,encuentre unintervalode confianza
1
exacto para θ.
$
2pθ ´ xq
& si 0 ă x ă θ,
fpx, θq“ θ 2
%
0 en otro caso.

272. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on unifp0, θq, con θ ą 0desconocido. Atrav´es de la cantidad