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264 3. Estimaci´ on por intervalos

es suficientemente grande, por ejemplo puede ser n ě 30, con cierta con-
fianza puede aplicarse el teorema central del l´ımite, y entonces de manera

aproximada tenemos que
¯
X ´ θ
? „ Np0, 1q.
S{ n

Ahora, para cualquier valor de α Pp0, 1q podemos encontrar un valor z α{2
en tablas de probabilidad normal est´andar tal que

¯
X ´ θ
Pp´z α{2 ă ? ă z α{2 q« 1 ´ α.
S{ n

Resolviendo para θ en las dos desigualdades anteriores se obtiene el siguiente
intervalo de confianza.

Proposici´on 3.13 Un intervalo de confianza aproximado para la media

θ de una distribuci´on cualquiera est´a dado por

S S
¯
¯
Pp X ´ z α{2 ? ă θ ă X ` z α{2 ? q« 1 ´ α.
n n

3.7. Intervalos conjuntos para dos par´ametros

Sea fpx; θ , θ q una distribuci´on de probabilidad dependiente de dos par´ame-
1
2
tros desconocidos. Supongamos que I e I son dos intervalos de confianza
2
1
para cada uno de estos par´ametros, suponiendo en cada caso que no se cono-
ce el otro par´ametro. Suponga que la confianza del primer intervalo es 1´α 1
yla delsegundo intervalo es 1 ´ α . El objetivo es encontrar la confianza
2
conjunta de estos dos intervalos.

Recordemos que para cualesquiera dos eventos A y B se cumple la desigual-
c
c
dad PpA X Bq ě 1 ´ PpA q´ PpB q.Por lo tanto, tenemos que
Ppθ P I , θ P I q ě 1 ´ Ppθ R I q` Ppθ R I q
1
1
2
2
1
2
2
1
“ 1 ´pα ` α q.
1
2