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3.5 Distribuci´ on normal 259

t α{2 ą 0entablas de probabilidad de ladistribuci´on t de n ´ 1 grados de
libertad (v´ease la Figura 3.6) tal que

¯
X ´ θ
Pp´t ă ? ă t q“ 1 ´ α.
α{2
S{ n α{2

Debido a la simetr´ıa alrededor del origen de la funci´on de densidad de la
distribuci´on tpn ´ 1q, el intervalo indicado es el de longitud m´ınima.

fpxq

1 ´ α

α{2 α{2
x
´t α{2 t α{2

Figura 3.6

Despejando la constante desconocida θ de las dos desigualdades anteriores
se obtiene el siguiente resultado.

Proposici´on 3.9 Un intervalo de confianza para la media θ de una
distribuci´on normal est´adado por lasiguiente expresi´on

S S
¯
¯
Pp X ´ t α{2 ? ă θ ă X ` t α{2 ? q“ 1 ´ α. (3.4)
n n

¯
¯
S
S
De este modo, el intervalo aleatorio p X´t α{2 ? , X`t α{2 ? q es un intervalo
n
n
de confianza para la media de una poblaci´on normal sin suponer la varianza
conocida. No lo hemos escrito de manera expl´ıcita en la f´ormula anterior pero
el valor t α{2 corresponde a la distribuci´on t con n ´ 1 grados de libertad.
Para mayor precisi´on se escribe tambi´en t α{2,n´1 .